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2006 年考研数学（三）第 4 题

填空题 · 4 分

设矩阵

A = (2 - 1 12)

，

E

为

2

阶单位矩阵，矩阵

B

满足

B A = B + 2 E

，则

∣ B ∣ =

______.

提示 1

把

B A = B + 2 E

整理成

B (A - E) = 2 E

的形式。

提示 2

两边取行列式，利用

∣ M N ∣ = ∣ M ∣∣ N ∣

与

∣2 E ∣ = 2^{n} ∣ E ∣

（

n = 2

）。

提示 3

算出

∣ A - E ∣

后相除即得

∣ B ∣

。

答案与详解

答案 $2$

思路（为什么这么做）

矩阵方程求

∣ B ∣

→ 先因式化成

B \cdot (\dots) = c E

，再两边取行列式转成数量关系。坑：

2

阶时

∣2 E ∣ = 2^{2} = 4

，不是

2

。

解答

本题考查矩阵方程变形 + 行列式的乘积性质。 由

B A = B + 2 E

移项得

B (A - E) = 2 E

。

两边取行列式：

∣ B ∣ ∣ A - E ∣ = ∣2 E ∣ = 2^{2} = 4

。而

A - E = (1 - 1 11)

，

∣ A - E ∣ = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1) = 2

。

故

∣ B ∣ = \frac{4}{2} = 2

。

考点：行列式的计算、矩阵的运算

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