2006 年考研数学（三） 第 3 题

复合函数 $z=f(\text{内层})$ 求某点全微分 → 先算内层在该点的值以便代入 $f^{\prime }$，再用 $\mathrm{d}z=z_x\mathrm{d}x+z_y\mathrm{d}y$。坑：$f^{\prime }$ 的自变量是内层 $u$ 在该点的值（这里恰为 $0$）。

本题考查复合函数偏导与全微分。 记 $u=4x^2-y^2$，由链式法则 $\frac{\partial z}{\partial x}=8x{f}^{\prime }(u)$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-2y{f}^{\prime }(u)$。

在点 $(1,2)$ 处 $u=4\cdot 1-4=0$，故 $\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(1,2)}=8f^{\prime }(0)=4$，$\frac{\partial z}{\partial y}{|}_{(1,2)}=-4f^{\prime }(0)=-2$。

于是 $\mathrm{d}z{|}_{(1,2)}=4\mathrm{d}x-2\mathrm{d}y$。