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2006 年考研数学（三）第 2 题

填空题 · 4 分

设函数

f (x)

在

x = 2

的某邻域内可导，且

f^{'} (x) = e^{f (x)}

，

f (2) = 1

，则

f^{'''} (2) =

______.

提示 1

先用

f^{'} (x) = e^{f (x)}

与

f (2) = 1

求出

f^{'} (2)

。

提示 2

每次求导都把出现的

f^{'} (x)

再换回

e^{f (x)}

，指数会累加。

提示 3

归纳可得

f^{(k)} (x) = k e^{k f (x)}

的雏形，代入求值。

答案与详解

答案 $2 e^{3}$

思路（为什么这么做）

给出

f^{'} = e^{f}

求高阶导 → 反复用链式法则并把新出现的

f^{'}

替换成

e^{f}

，指数逐次

+ 1

。坑：别忘乘上内层

f^{'} (x) = e^{f}

这个因子。

解答

本题考查复合函数逐阶求导。 由

f (2) = 1

得

f^{'} (2) = e^{f (2)} = e

。

对

f^{'} (x) = e^{f (x)}

逐次求导：

f^{''} (x) = e^{f (x)} f^{'} (x) = e^{2 f (x)}

，

f^{'''} (x) = 2 e^{2 f (x)} f^{'} (x) = 2 e^{3 f (x)}

。

代入

f (2) = 1

，得

f^{'''} (2) = 2 e^{3}

。

考点：高阶导数、求导法则（四则、复合、反函数）

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