2006 年考研数学（三） 第 1 题

看到含 $(-1{)}^n$ 的数列极限 → 先辨认它是「符号」还是「幂次的大小」；此处只是 $\pm 1$ 次幂、底数趋于 $1$，奇偶两子列都趋于 $1$。坑：别误当成 $(1+1/n{)}^n\to e$。

本题考查数列极限，关键在于按下标 $n$ 的奇偶分段讨论。 指数 $(-1{)}^n$ 只取 $\pm 1$（并非趋于无穷），底数 $\frac{n+1}{n}\to 1$。

当 $n$ 为偶数时，${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^1=1+\frac{1}{n}\to 1$；当 $n$ 为奇数时，${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{-1}=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}\to 1$。

奇、偶两个子列极限都为 $1$，故原极限 $=1$。