2006 年考研数学（三） 第 9 题

「$\sum a_n$ 收敛 $\Rightarrow$?」型选择题 → 能用线性性质（数乘、相加、移项）证成立的直接选；其余用条件收敛级数 $(-1{)}^n/n$、$(-1{)}^n/\sqrt{n}$ 构造反例。坑：绝对值、乘积不保持收敛。

本题考查收敛级数的线性性质与反例排除。 由 $\sum a_n$ 收敛，则 $\sum \frac{1}{2}{a}_n$ 与 $\sum \frac{1}{2}{a}_{n+1}$ 均收敛，二者相加得 $\sum \frac{a_n+a_{n+1}}{2}$ 收敛，故 D 正确。

反例排除：取 $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$，$\sum a_n$ 收敛，但 $\sum |a_n|=\sum \frac{1}{n}$ 发散（排除 A），$\sum (-1{)}^n{a}_n=\sum \frac{1}{n}$ 发散（排除 B）。

取 $a_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$，$\sum a_n$ 收敛，但 $a_n{a}_{n+1}=-\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\sim -\frac{1}{n}$，$\sum a_n{a}_{n+1}$ 发散（排除 C）。故选 D。