2006 年考研数学（三） 第 12 题

判断 $A{\alpha }_i$ 的相关性 → 相关性可传递（左乘 $A$ 保持零组合），无关性不一定保持。坑：只有当 $A$ 列满秩（$r(A)=n$）时才把无关映成无关。

本题考查线性相关性在线性变换下的保持。 若 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性相关，则存在不全为零的 $k_1,\cdots ,k_s$ 使 $k_1{\alpha }_1+\cdots +k_s{\alpha }_s=0$。

两边左乘 $A$ 得 $k_{1}A{\alpha }_1+\cdots +k_{s}A{\alpha }_s=0$，同一组不全为零的系数 $\Rightarrow A{\alpha }_1,\cdots ,A{\alpha }_s$ 线性相关。故 A 正确。

反之无关不一定保持：$A$ 可能把无关向量映成相关（如 $A=O$），故 C、D 不真；B 显然错。