2006 年考研数学（三） 第 11 题

条件极值中判 $f_x^{\prime },f_y^{\prime }$ 关系 → 写拉格朗日方程组 $f^{\prime }+\lambda {\phi }^{\prime }=0$，利用给定的 ${\phi }_y^{\prime }\ne 0$ 追踪 $\lambda$ 的非零性。坑：两个偏导「同零同非零」，不会一零一非零。

本题考查条件极值的拉格朗日必要条件。 作 $F=f+\lambda \phi$，在极值点有 $f_x^{\prime }+\lambda {\phi }_x^{\prime }=0$，$f_y^{\prime }+\lambda {\phi }_y^{\prime }=0$。

设 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$，由第一式 $\lambda {\phi }_x^{\prime }=-f_x^{\prime }\ne 0$，故 $\lambda \ne 0$。又 ${\phi }_y^{\prime }\ne 0$，于是 $f_y^{\prime }(x_0,y_0)=-\lambda {\phi }_y^{\prime }\ne 0$。故选 D。

（等价地：$\phi =0$ 确定 $y=y(x)$，代入 $z=f(x,y(x))$，极值点处 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=f_x^{\prime }+f_y^{\prime }{y}^{\prime }=0$，${\phi }_y^{\prime }\ne 0$ 保证 $y^{\prime }$ 有限，从而 $f_x^{\prime }\ne 0\Rightarrow f_y^{\prime }\ne 0$。）