2005 年考研数学（三） 第 4 题

向量个数 = 维数，判线性相关 → 直接令方阵行列式 $=0$ 解参数。坑：解出多个根时用题目附加条件（此处 $a\ne 1$）筛掉。

本题考查「$n$ 个 $n$ 维向量线性相关 $⟺$ 其行列式 $=0$」。 这里是 $4$ 个 $4$ 维向量，故线性相关的充要条件是它们排成的行列式为零。

按列（或按行）排出行列式并化简：$\left|\begin{array}{cccc}2& 2& 3& 4\\ 1& 1& 2& 3\\ 1& a& 1& 2\\ 1& a& a& 1\end{array}\right|=(2a-1)(a-1)=0$。

解得 $a=\frac{1}{2}$ 或 $a=1$。由条件 $a\ne 1$，故 $a=\frac{1}{2}$。