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2005 年考研数学（三）第 5 题

填空题 · 4 分

从数

1, 2, 3, 4

中任取一个数，记为

X

，再从

1, \dots, X

中任取一个数，记为

Y

，则

P {Y = 2} =

______.

提示 1

试验分两步：先定

X

，再在

{1, \dots, X}

里取

Y

。用

{X = i}

作完备事件组。

提示 2

算条件概率

P {Y = 2 ∣ X = i}

：只有

i \geq 2

才可能取到

2

，且为

\frac{1}{i}

。

提示 3

全概率公式加权：

P {Y = 2} = \frac{1}{4} \sum_{i = 2}^{4} \frac{1}{i}

。

答案与详解

答案 $\frac{13}{48}$

思路（为什么这么做）

「先抽一次决定范围，再抽一次」的两步随机试验 → 用全概率公式，第一步的结果作完备事件组。坑：

X = 1

时取不到

2

，该条件概率为

0

，别漏。

解答

本题考查全概率公式（两步试验，第一步构造完备事件组）。 令

A_{i} = {X = i} (i = 1, 2, 3, 4)

，则

P (A_{i}) = \frac{1}{4}

。

在

X = i

条件下，

Y

从

1, \dots, i

中等可能取，故

P {Y = 2 ∣ A_{1}} = 0

，

P {Y = 2 ∣ A_{2}} = \frac{1}{2}

，

P {Y = 2 ∣ A_{3}} = \frac{1}{3}

，

P {Y = 2 ∣ A_{4}} = \frac{1}{4}

。

由全概率公式

P {Y = 2} = \sum_{i = 1}^{4} P (A_{i}) P {Y = 2 ∣ A_{i}} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = \frac{13}{48}

。

考点：全概率公式与贝叶斯公式、条件概率与乘法公式

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