2005 年考研数学（三） 第 3 题

求某点全微分 → 分别求 $z_x,z_y$ 再代点，写成 $z_x\mathrm{d}x+z_y\mathrm{d}y$。坑：对一个变量求偏导时另一变量当常数，$e^{x+y}$ 对 $x$、对 $y$ 求导都得 $e^{x+y}$，别漏乘积项。

本题考查全微分 $\mathrm{d}z=z_x\mathrm{d}x+z_y\mathrm{d}y$ 的计算。 分别求两个偏导后代点 $(1,0)$。

对 $x$ 求偏导：$\frac{\partial z}{\partial x}=(x+1)e^{x+y}+\ln (1+y)$，代入 $(1,0)$ 得 $2e$。

对 $y$ 求偏导：$\frac{\partial z}{\partial y}=x{e}^{x+y}+\frac{x+1}{1+y}$，代入 $(1,0)$ 得 $e+2$。故 $\mathrm{d}z{|}_{(1,0)}=2e\mathrm{d}x+(e+2)\mathrm{d}y$。