2005 年考研数学（三） 第 2 题

看到 $x{y}^{\prime }+y$（或形如 $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$）→ 认出它是 $(xy{)}^{\prime }$，方程立刻可积。坑：也可写成 $y^{\prime }+\frac{1}{x}y=0$ 用一阶线性公式 $y=C{e}^{-\int \frac{1}{x}dx}=\frac{C}{x}$，结果一致。

本题考查一阶线性（可分离变量）微分方程求特解。 注意 $x{y}^{\prime }+y=(xy{)}^{\prime }$，方程即 $(xy{)}^{\prime }=0$。

积分得 $xy=C$。由 $y(1)=2$ 得 $C=2$，故特解为 $y=\frac{2}{x}$。