2005 年考研数学（三） 第 1 题

看到「$x\to \infty$ 时 $x\cdot \sin (\text{趋 }0)$」→ 先确认括号内是无穷小，再用 $\sin u\sim u$ 化掉三角，转成有理式求极限。坑：只有括号内趋 0 才能用 $\sin u\sim u$。

本题考查 $\infty \cdot$ 无穷小 型极限。 当 $x\to \infty$ 时，$\frac{2x}{x^2+1}\to 0$，故可用等价无穷小 $\sin u\sim u(u\to 0)$。

于是 $\underset{x\to \infty }{\lim }x\sin \frac{2x}{x^2+1}=\underset{x\to \infty }{\lim }x\cdot \frac{2x}{x^2+1}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^2}{x^2+1}=2$。