2004 年考研数学（三） 第 8 题

判连续/间断 → 算 $\underset{x\to x_0}{\lim }g$ 与 $g(x_0)$ 比较。此题极限 $=a$ 含参数，结论必然「与 $a$ 有关」。坑：$a\ne 0$ 时是可去（第一类）间断，不是第二类。

本题考查间断点类型的判定（复合函数在一点的极限）。 当 $x\to 0$ 时 $\frac{1}{x}\to \infty$，故 $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=\underset{x\to 0}{\lim }f(\frac{1}{x})=\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)=a$，而 $g(0)=0$。

若 $a=0$，则 $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=0=g(0)$，$g$ 在 $x=0$ 连续。

若 $a\ne 0$，则 $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=a\ne g(0)$，$x=0$ 是可去间断点。连续与否取决于 $a$，故选 D。