2004 年考研数学（三） 第 9 题

含绝对值判极值/拐点 → 在关注点附近去绝对值写成分段多项式，再用 $f^{\prime }$、$f^{\prime \prime }$ 的左右变号判定。坑：$x=0$ 处 $f$ 不可导也能既是极值点又是拐点，靠左右一阶、二阶符号变化判断即可。

本题考查用分段（去绝对值）判定极值点与拐点。 在 $x=0$ 附近 $1-x>0$，故 $f(x)=|x|(1-x)=\{\begin{array}{ll}x-x^2,& 0<x<1,\\ x^2-x,& x\le 0.\end{array}$

极值：$x<0$ 时 $f^{\prime }=2x-1<0$（减），$0<x<\frac{1}{2}$ 时 $f^{\prime }=1-2x>0$（增），故 $f$ 在 $x=0$ 取极小值，$x=0$ 是极值点。

拐点：$x<0$ 时 $f^{\prime \prime }=2>0$（凹），$0<x<1$ 时 $f^{\prime \prime }=-2<0$（凸），凹凸性在 $x=0$ 改变且该点连续，故 $(0,0)$ 是拐点。故选 C。