2004 年考研数学（三） 第 10 题

级数命题判真伪 → 记牢「增减有限项不改敛散」「通项不→0 必发散」为真；「加括号收敛」「和级数收敛」都不能拆回单个级数。坑：①④都靠构造反例否定。

本题考查级数收敛的性质与必要条件（加括号、去有限项、通项趋零）。 ①错：取 $u_n=(-1{)}^n$，则 $\sum (u_{2n-1}+u_{2n})=\sum 0$ 收敛，但 $\sum u_n$ 发散（加括号后收敛不能推回原级数收敛）。

②对：增减、改变级数的有限项不改变敛散性。③对：由 $\lim \frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ 知 $u_n\nrightarrow 0$，违反收敛的必要条件，故发散。

④错：取 $u_n=\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n},v_n=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}$，则 $\sum (u_n+v_n)=\sum \frac{2}{n^2}$ 收敛，但 $\sum u_n,\sum v_n$ 都发散。故正确的是 ②③，选 B。