2004 年考研数学（三） 第 11 题

「$f^{\prime }$ 端点异号，判断结论对错」→ 保号性给 A、B，零点定理（对 $f^{\prime }$）给 C；凡断言 $f$ 有零点（$f(x_0)=0$）的都缺条件。坑：一点导数符号只控制该点单侧邻域的单调趋势，不能反推全区间单调。

本题考查导数的极限保号性与（对 $f^{\prime }$ 用）零点定理。 由 $f^{\prime }(a)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0$（保号性），在 $a$ 右侧有 $f(x)>f(a)$，故 A 正确。

由 $f^{\prime }(b)=\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(b)}{x-b}<0$，在 $b$ 左侧 $\frac{f(x)-f(b)}{x-b}<0$，即 $f(x)>f(b)$，B 正确；又 $f^{\prime }$ 连续且 $f^{\prime }(a)f^{\prime }(b)<0$，由零点定理 $\exists x_0,f^{\prime }(x_0)=0$，C 正确。

D 无根据：题设只约束 $f^{\prime }$ 的符号，不含 $f$ 的取值信息，$f$ 可整体上移使其恒正、未必有零点。故错误结论是 D。