2004 年考研数学（三） 第 12 题

「等价/相抵」题 → 立刻翻译为 $r(A)=r(B)$；只有「是否为 0（满秩与否）」被保住，行列式的具体数值不被保住。坑：别把「等价」当「相似」或「合同」，它保的仅是秩。

本题考查矩阵等价（相抵）的本质：秩相等。 $A,B$ 等价 $⟺$ 存在可逆 $P,Q$ 使 $PAQ=B$ $⟺r(A)=r(B)$。

当 $|A|=0$ 时 $r(A)<n$，故 $r(B)=r(A)<n$，从而 $|B|=0$，D 正确。

A、B 错：等价只保秩不保行列式的具体值（$|B|=|P||A||Q|$，$|P|,|Q|$ 为任意非零数）；C 错：$|A|\ne 0$ 时 $r(A)=n$，故 $r(B)=n$，$|B|\ne 0$。故选 D。