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2004 年考研数学（三）第 13 题

选择题 · 4 分

设

n

阶矩阵

A

的伴随矩阵

A^{*} \neq = O

，若

ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}, ξ_{4}

是非齐次线性方程组

A x = b

的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组

A x = 0

的基础解系（　　）

A不存在.
B仅含一个非零解向量.
C含有两个线性无关的解向量.
D含有三个线性无关的解向量.

提示 1

A x = b

有不止一个解

\Rightarrow r (A) < n

。

提示 2

伴随秩公式：

r (A) = n

时

r (A^{*}) = n

；

r (A) = n - 1

时

r (A^{*}) = 1

；

r (A) < n - 1

时

r (A^{*}) = 0

。由

A^{*} \neq = O

得

r (A) = n - 1

。

提示 3

基础解系向量个数

= n - r (A) = 1

。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

见

A^{*} \neq = O

且

A x = b

多解 → 用秩公式锁定

r (A) = n - 1

，则

A x = 0

基础解系含

n - r (A) = 1

个向量。坑：

A^{*} \neq = O

只排除

r (A) < n - 1

；「多解」排除

r (A) = n

，两者合起来才逼出

r (A) = n - 1

。

解答

本题考查伴随矩阵的秩公式与基础解系所含向量个数。

A x = b

有互不相等的解（即有多解），故

r (A) < n

，从而

r (A^{*}) \in {0, 1}

。

又

A^{*} \neq = O

，故

r (A^{*}) = 1

，由秩公式

r (A^{*}) = 1 ⟺ r (A) = n - 1

。

基础解系所含向量个数

= n - r (A) = n - (n - 1) = 1

，即仅含一个非零解向量，选 B。

考点：伴随矩阵、齐次线性方程组与基础解系

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