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2004 年考研数学（三）第 14 题

选择题 · 4 分

设随机变量

X

服从正态分布

N (0, 1)

，对给定的

α (0 < α < 1)

，数

u_{α}

满足

P {X > u_{α}} = α

. 若

P {∣ X ∣ < x} = α

，则

x

等于（　　）

A $u_{\frac{α}{2}}$ .
B $u_{1 - \frac{α}{2}}$ .
C $u_{\frac{1 - α}{2}}$ .
D $u_{1 - α}$ .

提示 1

由对称性

P {∣ X ∣ < x} = 1 - 2 P {X > x}

。

提示 2

令其

= α

解出

P {X > x} = \frac{1 - α}{2}

。

提示 3

对照分位数定义

P {X > u_{β}} = β

，读出下标

β = \frac{1 - α}{2}

。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

标准正态「双侧概率 ↔ 分位数」→ 用对称性把

P {∣ X ∣ < x}

化成

1 - 2 P {X > x}

，再套

P {X > u_{β}} = β

读下标。坑：

u_{α}

是右尾（上侧）分位点，下标就是右尾概率。

解答

本题考查标准正态分布的对称性与上侧分位数的定义。 由

P {∣ X ∣ < x} = 1 - P {∣ X ∣ \geq x} = 1 - 2 P {X > x} = α

，得

P {X > x} = \frac{1 - α}{2}

。

又上侧分位数定义为

P {X > u_{β}} = β

，对照得

x = u_{\frac{1 - α}{2}}

。故选 C。

（此处用到

N (0, 1)

关于

0

对称，

P {∣ X ∣ \geq x} = 2 P {X > x}

。）

考点：常见连续分布（均匀、指数、正态）、三大抽样分布（χ²、t、F）

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