2004 年考研数学（三） 第 15 题

$\frac{1}{{\sin }^{2}x}-\frac{{\cos }^{2}x}{x^2}$ 这类 $\infty -\infty$ → 先通分，分母用等价无穷小降为 $x^4$，分子用泰勒精确展到 $x^4$。坑：分母换成 $x^4$ 后，分子必须展到 $x^4$ 阶，不能只用一阶等价无穷小。

本题考查 $\infty -\infty$ 型极限（通分后用等价无穷小 + 泰勒/洛必达）。 通分得 $\frac{1}{{\sin }^{2}x}-\frac{{\cos }^{2}x}{x^2}=\frac{x^2-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{x^2{\sin }^{2}x}$，分母用 $\sin x\sim x$ 换成 $x^4$：原式 $=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{x^4}$。

用 $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$，分子 $=x^2-\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x$。由泰勒 $\sin 2x=2x-\frac{(2x{)}^3}{6}+o(x^3)$ 得 ${\sin }^{2}2x=4x^2-\frac{16}{3}{x}^4+o(x^4)$。

故分子 $=x^2-\frac{1}{4}(4x^2-\frac{16}{3}{x}^4)+o(x^4)=\frac{4}{3}{x}^4+o(x^4)$，于是极限 $=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{4}{3}{x}^4}{x^4}=\frac{4}{3}$。