2004 年考研数学（三） 第 16 题

「两圆围成的区域 + 被积含 $\sqrt{x^2+y^2}$」→ 极坐标，用大区域减小区域；先用对称性把奇函数项 $y$ 消掉。坑：偏心小圆的极坐标方程是 $r=-2\cos \theta$，$\theta \in [\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]$。

本题考查极坐标下的二重积分（区域相减法）。 $D$ 为大圆盘 $D_1:x^2+y^2\le 4$ 挖去小圆盘 $D_2:(x+1{)}^2+y^2\le 1$，故 ${\iint }_D={\iint }_{D_1}-{\iint }_{D_2}$。两圆盘都关于 $x$ 轴对称、$y$ 为奇函数，故 $\iint y\mathrm{d}\sigma =0$，只需算 $\sqrt{x^2+y^2}=r$ 的积分。

大圆盘：${\iint }_{D_1}r\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{2}r\cdot r\mathrm{d}r=2\pi \cdot \frac{8}{3}=\frac{16\pi }{3}$。

小圆盘极坐标为 $r=-2\cos \theta (\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{3\pi }{2})$，${\iint }_{D_2}r\mathrm{d}\sigma ={\int }_{\pi /2}^{3\pi /2}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{-2\cos \theta }{r}^2\mathrm{d}r=\frac{32}{9}$。故原积分 $=\frac{16\pi }{3}-\frac{32}{9}$。