2004 年考研数学（三） 第 17 题

由「变限积分不等式」证「带权 $x$ 的积分不等式」→ 令 $\phi ={\int }_a^x(f-g)$（已知 $\ge 0$、两端为 0），对 $\int x{\phi }^{\prime }$ 分部积分，把权 $x$ 转到 $\phi$ 上。坑：正是两端点 $\phi (a)=\phi (b)=0$ 让分部积分的边界项消失。

本题考查用「令 $\phi ={\int }_a^x(f-g)$ 并分部积分」证积分不等式。 记 $\phi (x)={\int }_a^x[f(t)-g(t)]\mathrm{d}t$，由条件知 $\phi (x)\ge 0(x\in [a,b])$，且 $\phi (a)=0$、$\phi (b)=0$（两端积分相等）。

目标差 ${\int }_a^{b}x[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x={\int }_a^{b}x{\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x$。分部积分：$=[x\phi (x){]}_a^b-{\int }_a^b\phi (x)\mathrm{d}x$。

因 $\phi (a)=\phi (b)=0$，边界项 $[x\phi (x){]}_a^b=0$，故上式 $=-{\int }_a^b\phi (x)\mathrm{d}x\le 0$（因 $\phi \ge 0$）。即 ${\int }_a^{b}xf\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}xg\mathrm{d}x$，证毕。