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2004 年考研数学（三）第 18 题

解答题 · 9 分

设某商品的需求函数为

Q = 100 - 5 P

，其中价格

P \in (0, 20)

，

Q

为需求量.（Ⅰ）求需求量对价格的弹性

E_{d} (E_{d} > 0)

；（Ⅱ）推导

\frac{d R}{d P} = Q (1 - E_{d})

（其中

R

为收益），并用弹性

E_{d}

说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.

提示 1

弹性（正）定义

E_{d} = - \frac{P}{Q} \frac{d Q}{d P}

，代入

Q = 100 - 5 P

。

提示 2

R = P Q

，对

P

求导并提出

Q

，即得

\frac{d R}{d P} = Q (1 - E_{d})

。

提示 3

降价增收

⟺ \frac{d R}{d P} < 0 ⟺ E_{d} > 1

，解不等式

\frac{P}{20 - P} > 1

。

答案与详解

答案（Ⅰ） $E_{d} = \frac{P}{20 - P}$ ；（Ⅱ）当 $10 < P < 20$ 时，降低价格反而使收益增加

思路（为什么这么做）

需求弹性题 → 记

E_{d} = - \frac{P}{Q} \frac{d Q}{d P}

、

\frac{d R}{d P} = Q (1 - E_{d})

；富有弹性（

E_{d} > 1

）时降价增收，缺乏弹性（

E_{d} < 1

）时涨价增收。坑：

\frac{d R}{d P} < 0

才对应「价降收增」（反向变化）。

解答

本题考查需求弹性与收益的关系（数三经济应用）。（Ⅰ）弹性取正值定义

E_{d} = - \frac{P}{Q} \cdot \frac{d Q}{d P} = - \frac{P}{100 - 5 P} \cdot (- 5) = \frac{5 P}{100 - 5 P} = \frac{P}{20 - P}

。

（Ⅱ）收益

R = P Q

，故

\frac{d R}{d P} = Q + P \frac{d Q}{d P} = Q (1 + \frac{P}{Q} \frac{d Q}{d P}) = Q (1 - E_{d})

。

「降价增收」即

\frac{d R}{d P} < 0

（价降、收益升，二者反向）。因

Q > 0

，需

1 - E_{d} < 0

，即

E_{d} > 1

：

\frac{P}{20 - P} > 1 \Rightarrow P > 10

。结合

0 < P < 20

，得当

10 < P < 20

（此时

E_{d} > 1

，富有弹性）时，降低价格反而使收益增加。

考点：边际与弹性（导数的经济意义）、导数应用：最值、渐近线、作图

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