2004 年考研数学（三） 第 19 题

幂级数求和且逐项求导后能「重现原级数」→ 建立关于 $S$ 的一阶线性 ODE $S^{\prime }-xS=\dots$ 再解。坑：求 $\int \frac{x^3}{2}{\mathrm{e}}^{-x^2/2}\mathrm{d}x$ 用换元 $u=x^2/2$（或分部），别忘用 $S(0)=0$ 定常数。

本题考查幂级数求和（逐项求导建立并求解一阶线性微分方程）。（Ⅰ）$S(x)=\sum _{n=2}^{\infty }\frac{x^{2n}}{2\times 4\times \cdots \times (2n)}$，逐项求导 $S^{\prime }(x)=\frac{x^3}{2}+\frac{x^5}{2\times 4}+\frac{x^7}{2\times 4\times 6}+\cdots =\frac{x^3}{2}+x(\frac{x^4}{2\times 4}+\frac{x^6}{2\times 4\times 6}+\cdots )=\frac{x^3}{2}+xS(x)$。

故 $S(x)$ 满足一阶线性微分方程 $S^{\prime }(x)-xS(x)=\frac{x^3}{2}$，且由级数知初值 $S(0)=0$。

（Ⅱ）用一阶线性通解公式（积分因子 ${\mathrm{e}}^{-x^2/2}$）：$S(x)={\mathrm{e}}^{x^2/2}(\int \frac{x^3}{2}{\mathrm{e}}^{-x^2/2}\mathrm{d}x+C)=C{\mathrm{e}}^{x^2/2}-\frac{x^2}{2}-1$。由 $S(0)=0$ 得 $C=1$，故 $S(x)={\mathrm{e}}^{x^2/2}-\frac{x^2}{2}-1$。