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2004 年考研数学（三） 第 20 题
解答题 · 13 分
设 ，，，，试讨论当 为何值时，（Ⅰ） 不能由 线性表示；（Ⅱ） 可由 唯一地线性表示，并求出表示式；（Ⅲ） 可由 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.
提示 1
「 能否线性表示」= 方程组 是否有解，对增广矩阵化行阶梯。提示 2
关键位置出现 与 ： 时秩不等（无解）； 时满秩（唯一）； 时降秩（无穷多）。提示 3
无穷多解时写出含参数 的通解，再翻译回 的表示式。答案与详解
答案 （Ⅰ）（ 任意）时不能表示；（Ⅱ） 且 时唯一，；（Ⅲ） 且 时不唯一，（ 为任意常数）
思路（为什么这么做）
「讨论 能否/如何线性表示」→ 化增广矩阵行阶梯，比较 与 ：不等=不能表示，相等且 未知数个数=唯一，相等且 =不唯一。坑：分类的临界值就藏在行阶梯主元里（本题是 与 ）。
解答
本题考查「向量能否线性表示」↔ 非齐次方程组 解的存在与个数（比较 与 ）。 对增广矩阵作行变换：。
（Ⅰ）当 时，第 2 行为 、第 3 行为 ，出现 型矛盾，，故 不能由 线性表示。
（Ⅱ）当 且 时 ，唯一表示，解得 。
（Ⅲ）当 且 时 ，有无穷多解，通解 ，即 （ 为任意常数）。
（Ⅰ）当 时，第 2 行为 、第 3 行为 ，出现 型矛盾，，故 不能由 线性表示。
（Ⅱ）当 且 时 ，唯一表示，解得 。
（Ⅲ）当 且 时 ，有无穷多解，通解 ，即 （ 为任意常数）。