2004 年考研数学（三） 第 4 题

求「二次型的秩」→ 写出对称矩阵 $A$（对角=平方系数，非对角=交叉系数一半）再求 $r(A)$。坑：交叉项系数要除以 2 分配到对称的两个位置。

本题考查二次型的秩（等于其实对称矩阵的秩）。 展开 $f=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3-2x_2{x}_3$。

其矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& -1\\ 1& -1& 2\end{array}\right)$（对角为平方项系数，非对角为交叉项系数之半）。

对 $A$ 作初等行变换化为 $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& -3& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，得 $r(A)=2$，即二次型的秩为 $2$。