2004 年考研数学（三） 第 3 题

看到「$\int f(x-1)$、$f$ 分段」→ 先平移换元把 $f(x-1)$ 变 $f(t)$，再按分界点拆段；遇 $t{\mathrm{e}}^{t^2}$ 这类奇函数在对称区间上直接记 $0$。坑：换元后积分限要一起平移。

本题考查分段函数的定积分（换元 + 奇函数对称性）。 令 $t=x-1$，当 $x$ 从 $\frac{1}{2}$ 到 $2$ 时 $t$ 从 $-\frac{1}{2}$ 到 $1$，得 ${\int }_{\frac{1}{2}}^{2}f(x-1)\mathrm{d}x={\int }_{-\frac{1}{2}}^{1}f(t)\mathrm{d}t$。

按 $f$ 的分段拆开（分界点 $t=\frac{1}{2}$）：${\int }_{-\frac{1}{2}}^{1}f(t)\mathrm{d}t={\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}t{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t+{\int }_{\frac{1}{2}}^1(-1)\mathrm{d}t$。

$t{\mathrm{e}}^{t^2}$ 是奇函数，在对称区间 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ 上积分为 $0$；后一项 $=-\frac{1}{2}$。故原积分 $=-\frac{1}{2}$。