2004 年考研数学（三） 第 2 题

看到「$f$ 由复合关系式隐含定义、求偏导」→ 先做变量代换 $u=\dots ,v=\dots$ 反解出自变量，得到 $f(u,v)$ 显式式再求导，比链式法则更干净。坑：$\frac{\partial f}{\partial u}$ 只含 $v$，对 $v$ 求导得 $-g^{\prime }/g^2$。

本题考查用变量代换求出 $f(u,v)$ 的显式表达式，再求混合偏导。 令 $u=xg(y),v=y$，则 $y=v,x=\frac{u}{g(v)}$。

代入关系式得 $f(u,v)=x+g(y)=\frac{u}{g(v)}+g(v)$。

先对 $u$ 求偏导 $\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{1}{g(v)}$，再对 $v$ 求导 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial v}=-\frac{g^{\prime }(v)}{g^2(v)}$。