2004 年考研数学（三） 第 1 题

看到「极限=有限非零，分子趋 0」→ 分母必趋 0，先定参数使分母为 0；再用等价无穷小约去 $\frac{0}{0}$ 求另一个参数。坑：先定 $a$ 再定 $b$，顺序不能反。

本题考查利用极限存在反求参数（“分母趋零”定 $a$，等价无穷小定 $b$）。 当 $x\to 0$ 时分子含 $\sin x\to 0$，而整体极限为有限非零值 $5$，故分母必趋于零。

由 $\underset{x\to 0}{\lim }({\mathrm{e}}^x-a)=1-a=0$ 得 $a=1$。

代回并用 $\frac{\sin x}{{\mathrm{e}}^x-1}\to 1$（因 $\sin x\sim x,{\mathrm{e}}^x-1\sim x$），得 $5=\underset{x\to 0}{\lim }(\cos x-b)=1-b$，故 $b=-4$。