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2002 年考研数学（三）第 8 题

选择题 · 3 分

设

A

是

m \times n

矩阵，

B

是

n \times m

矩阵，则线性方程组

(A B) x = 0

（　）。

A当 $n > m$ 时仅有零解
B当 $n > m$ 时必有非零解
C当 $m > n$ 时仅有零解
D当 $m > n$ 时必有非零解

提示 1

A B

是

m \times m

方阵，未知数个数为

m

。

提示 2

用

r (A B) \leq min {r (A), r (B)} \leq min {m, n}

。

提示 3

当

m > n

时

r (A B) \leq n < m

，秩

<

未知数个数

\Rightarrow

有非零解。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

判

(A B) x = 0

的解 → 比较

r (A B)

与未知数个数

m

。坑：

r (A B) \leq min {r (A), r (B)} \leq n

，只有

m > n

才能断定秩

< m

必有非零解。

解答

本题考查矩阵秩不等式与齐次方程组有非零解的判据（ $r <$ 未知数个数）。

A B

是

m

阶方阵，

(A B) x = 0

有

m

个未知数。

由

r (A) \leq min {m, n}

，

r (B) \leq min {m, n}

，以及

r (A B) \leq min {r (A), r (B)} \leq n

。

当

m > n

时，

r (A B) \leq n < m

，系数矩阵秩小于未知数个数

m

，故

(A B) x = 0

必有非零解，选 D。

考点：齐次线性方程组与基础解系、矩阵的秩

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