2002 年考研数学（三） 第 7 题

由已知级数半径求组合级数半径 → 化成系数比值极限再组合。坑：题目默认比值极限存在（原题即因此有瑕疵）；$R=1/\lim |c_{n+1}/c_n|$，$b_n^2$ 在分母要取倒数。

本题考查用相邻系数比 $\lim \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|$ 求收敛半径。 由两级数半径反推系数比：$\lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{3}{\sqrt{5}}$，$\lim \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|=3$。

对新级数系数 $c_n=\frac{a_n^2}{b_n^2}$：$\lim \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=\lim {\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}^2\cdot {\left|\frac{b_n}{b_{n+1}}\right|}^2={\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)}^2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{9}{5}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{5}$。

故收敛半径 $R=\frac{1}{1/5}=5$，选 A。