2002 年考研数学（三） 第 6 题

中值定理条件辨析题 → 逐条检查「是否需要闭区间连续」。坑：端点只「有定义」不一定连续，A/C/D 前提缺失；唯 B（可导 $\Rightarrow$ 连续）在开区间内恒真。

本题考查「可导 $\Rightarrow$ 连续」以及零点定理、罗尔定理、拉格朗日定理的成立条件。 题设只保证在开区间 $(a,b)$ 内可导，端点处未必连续。

B 正确：$f$ 在 $(a,b)$ 内可导 $\Rightarrow$ 在每点 $\xi \in (a,b)$ 连续，即 ${\lim }_{x\to \xi }f(x)=f(\xi )$，也就是 ${\lim }_{x\to \xi }[f(x)-f(\xi )]=0$。

A（零点定理）、C（罗尔）、D（拉格朗日）都要求 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，而题设缺端点连续性，故均不一定成立。选 B。