2002 年考研数学（三）第 5 题

填空题 · 3 分

设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = {e^{- (x - θ)}, 0, x \geq θ, x < θ,

而

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本，则未知参数

θ

的矩估计量为 ____。

提示 1

矩估计：令总体均值

E (X)

等于样本均值

\overline{X}

。

提示 2

算

E (X) = \int_{θ}^{+ \infty} x e^{- (x - θ)} d x

，换元

t = x - θ

。

提示 3

得

E (X) = θ + 1

，令

= \overline{X}

反解

θ

。

答案与详解

答案 $\hat{θ} = \overline{X} - 1$

思路（为什么这么做）

求矩估计 → 算

E (X)

（含参数），令

E (X) = \overline{X}

反解。坑：这是平移指数分布，

E (X) = θ + 1

而非

θ

；换元后用

\int_{0}^{\infty} t e^{- t} d t = 1

。

解答

本题考查矩估计法：用样本一阶矩 $\overline{X}$ 估计总体一阶矩 $E (X)$ 。 先算含参数的

E (X)

。

E (X) = \int_{θ}^{+ \infty} x e^{- (x - θ)} d x

，令

t = x - θ

：

= \int_{0}^{+ \infty} (θ + t) e^{- t} d t = θ \int_{0}^{\infty} e^{- t} d t + \int_{0}^{\infty} t e^{- t} d t = θ + 1

。

令

E (X) = \overline{X}

，即

θ + 1 = \overline{X}

，解得矩估计量

\hat{θ} = \overline{X} - 1

。

2002 年考研数学（三） 第 5 题