2002 年考研数学（三） 第 4 题

求 $\mathrm{Cov}(g(X),h(Y))$ → 先求 $g(X),h(Y),g(X)h(Y)$ 的分布，再用 $\mathrm{Cov}=E(UV)-EUEV$。坑：$X^2{Y}^2$ 的分布要按联合概率算，$X,Y$ 并不独立。

本题考查随机变量函数的分布与协方差公式 $\mathrm{Cov}(X^2,Y^2)=E(X^2{Y}^2)-E(X^2)E(Y^2)$。 先求 $X^2,Y^2,X^2{Y}^2$ 的分布。

$X^2$ 取 $0$（$X=0$，概率 $0.40$）、$1$（$X=1$，概率 $0.60$），$E(X^2)=0.6$；$Y^2$ 取 $0$（$Y=0$，概率 $0.50$）、$1$（$Y=\pm 1$，概率 $0.50$），$E(Y^2)=0.5$。

$X^2{Y}^2=1$ 仅当 $X=1$ 且 $Y=\pm 1$，概率 $0.08+0.20=0.28$，故 $E(X^2{Y}^2)=0.28$。于是 $\mathrm{Cov}(X^2,Y^2)=0.28-0.6\times 0.5=-0.02$。