2002 年考研数学（三） 第 3 题

「$A\alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关」→ $A\alpha =\lambda \alpha$（$\alpha$ 为特征向量），逐分量列方程。坑：第一分量 $a=\lambda a$ 也要相容，别只用两式。

本题考查「两个向量线性相关 $\iff$ 成比例」与特征值定义。 $A\alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关且 $\alpha \ne 0$，故 $A\alpha =\lambda \alpha$（$\alpha$ 是 $A$ 的特征向量）。

计算 $A\alpha =\left(\begin{array}{c}a+2-2\\ 2a+1+2\\ 3a+0+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ 2a+3\\ 3a+4\end{array}\right)$，令其 $=\lambda \alpha =(\lambda a,\lambda ,\lambda {)}^{\mathrm{T}}$。

得 $\{\begin{array}{l}a=\lambda a\\ 2a+3=\lambda \\ 3a+4=\lambda \end{array}$。由后两式 $2a+3=3a+4\Rightarrow a=-1$（此时 $\lambda =1$，首式 $-1=1\cdot (-1)$ 相容）。