2002 年考研数学（三） 第 2 题

交换积分次序 → 据内外限画出区域，再按新顺序（先 $y$ 后 $x$）重设上下限。坑：$x=\sqrt{y}$ 要翻成 $y=x^2$，两块恰好拼成一块 $x^2\le y\le x$。

本题考查二重积分交换积分次序，关键是把两块累次积分区域画出并合并。

第一块：$0\le y\le \frac{1}{4},y\le x\le \sqrt{y}$；第二块：$\frac{1}{4}\le y\le \frac{1}{2},y\le x\le \frac{1}{2}$。两块拼成的区域由 $x=y$、$x=\sqrt{y}$（即 $y=x^2$）与 $x=\frac{1}{2}$ 围成。

改为先对 $y$ 积分：$x$ 从 $0$ 到 $\frac{1}{2}$，对每个 $x$，$y$ 从下边界 $y=x^2$ 到上边界 $y=x$。故原式 $={\int }_0^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x{\int }_{x^2}^{x}f(x,y)\mathrm{d}y$。