2002 年考研数学（三）第 1 题

填空题 · 3 分

设常数

a \neq = \frac{1}{2}

，则

n \to \infty lim ln [\frac{n - 2 na + 1}{n ( 1 - 2 a )}]^{n} =

____。

提示 1

先把分子

n - 2 na + 1

写成

n (1 - 2 a) + 1

，看出底数是

1 + \frac{1}{n ( 1 - 2 a )}

。

提示 2

这是

1^{\infty}

型，把指数

n

配成

n (1 - 2 a) \cdot \frac{1}{1 - 2 a}

。

提示 3

内层

\to e

，外层指数为

\frac{1}{1 - 2 a}

，最后

ln

与指数抵消。

答案与详解

答案 $\frac{1}{1 - 2 a}$

思路（为什么这么做）

看到

[\cdot]^{n}

且底数

\to 1

（

1^{\infty}

型）→ 底数写成

1 + \frac{1}{m}

、指数配

m \cdot (\dots)

，用

(1 + \frac{1}{m})^{m} \to e

。坑：

a \neq = \frac{1}{2}

保证

1 - 2 a \neq = 0

。

解答

本题考查 $1^{\infty}$ 型极限，核心是把括号内凑成 $1 + \frac{1}{n ( 1 - 2 a )}$ 再用 $(1 + \frac{1}{m})^{m} \to e$ 。

先化简底数：

\frac{n - 2 na + 1}{n ( 1 - 2 a )} = \frac{n ( 1 - 2 a ) + 1}{n ( 1 - 2 a )} = 1 + \frac{1}{n ( 1 - 2 a )}

。

于是

[1 + \frac{1}{n ( 1 - 2 a )}]^{n} = {[1 + \frac{1}{n ( 1 - 2 a )}]^{n (1 - 2 a)}}^{\frac{1}{1 - 2 a}} \to e^{\frac{1}{1 - 2 a}}

，再取对数

ln e^{\frac{1}{1 - 2 a}} = \frac{1}{1 - 2 a}

。

2002 年考研数学（三） 第 1 题