2002 年考研数学（三） 第 18 题

由 $A$ 的多项式方程求特征值 → 特征值满足同一多项式方程；再用「实对称可对角化 + 秩 = 非零特征值个数」定重数。坑：正定用「所有特征值 $>0$」，$A+kE$ 的特征值整体平移 $k$。

本题考查由矩阵方程定特征值、由特征值判正定。 设 $A\alpha =\lambda \alpha (\alpha \ne 0)$，代入 $A^2+2A=O$。

$(A^2+2A)\alpha =({\lambda }^2+2\lambda )\alpha =0$，因 $\alpha \ne 0$ 故 ${\lambda }^2+2\lambda =0$，$\lambda =0$ 或 $\lambda =-2$。又 $A$ 实对称必可对角化，非零特征值个数 $=r(A)=2$，故 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2={\lambda }_3=-2$。

（2）$A+kE$ 的特征值为 ${\lambda }_i+k$，即 $k,k-2,k-2$。$A+kE$ 正定 $\iff$ 全部特征值 $>0$，即 $k>0$ 且 $k-2>0$，故 $k>2$。