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2002 年考研数学（三）第 19 题

解答题 · 8 分

假设随机变量

U

在区间

[- 2, 2]

上服从均匀分布，随机变量

X = {- 1, 1, U \leq - 1, U > - 1, Y = {- 1, 1, U \leq 1, U > 1.

试求（1）

X

和

Y

的联合概率分布；（2）

D (X + Y)

。

提示 1

X, Y

都是

U

的函数，联合概率化为

U

落在某区间的概率，用「长度

/4

」算。

提示 2

注意

X = - 1

与

Y = 1

不可能同时发生（

U \leq - 1

与

U > 1

矛盾）。

提示 3

（2）令

Z = X + Y

求其分布律，再用

D (Z) = E (Z^{2}) - (E Z)^{2}

。

答案与详解

答案（1） $P (X = - 1, Y = - 1) = \frac{1}{4}, P (X = - 1, Y = 1) = 0, P (X = 1, Y = - 1) = \frac{1}{2}, P (X = 1, Y = 1) = \frac{1}{4}$ ；（2） $D (X + Y) = 2$

思路（为什么这么做）

由同一连续变量

U

定义的离散

(X, Y)

→ 把每个联合事件翻译成

U

的区间求概率。坑：

X, Y

高度相关（都靠

U

），求

D (X + Y)

直接对

Z = X + Y

建分布律最稳，勿误用

D X + D Y

。

解答

本题考查用 $U$ 的均匀分布计算离散型 $(X, Y)$ 的联合分布，再求方差。

U \sim U [- 2, 2]

，密度

\frac{1}{4} (- 2 < u < 2)

。

X, Y

都由

U

决定，把每个联合事件翻译成

U

的区间：

P (X = - 1, Y = - 1) = P (U \leq - 1) = \frac{1}{4}

；

P (X = - 1, Y = 1) = P (U \leq - 1, U > 1) = 0

；

P (X = 1, Y = - 1) = P (- 1 < U \leq 1) = \frac{1}{2}

；

P (X = 1, Y = 1) = P (U > 1) = \frac{1}{4}

。

（2）令

Z = X + Y

，取值

- 2, 0, 2

，概率分别为

\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}

。

E (Z) = 0

，

E (Z^{2}) = 4 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{4} = 2

，故

D (X + Y) = D (Z) = E (Z^{2}) - [E (Z)]^{2} = 2

。

考点：二维随机变量与联合分布、方差

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