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2002 年考研数学（三）第 20 题

解答题 · 8 分

假设某设备开机后无故障工作的时间

X

服从指数分布，平均无故障工作时间

E (X) = 5

小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障情况下工作 2 小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间

Y

的分布函数

F (y)

。

提示 1

指数分布

E (X) = 1/ λ = 5 \Rightarrow λ = 1/5

，

F_{X} (x) = 1 - e^{- x /5} (x \geq 0)

。

提示 2

「故障或满 2 小时先到就关机」意味着

Y = min {X, 2}

。

提示 3

y \geq 2

时

Y \leq 2 \leq y

故

F = 1

；

0 \leq y < 2

时

F (y) = F_{X} (y)

。

答案与详解

答案 $F (y) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 1 - e^{- y /5}, 1, y < 0, 0 \leq y < 2, y \geq 2$

思路（为什么这么做）

「工作到故障或到封顶时刻、取先到」→

Y = min {X, c}

，分布函数在

y \geq c

处变为

1

。坑：

Y

是混合型，

y = 2

处有跳跃

P (Y = 2) = e^{- 2/5}

，

y \geq 2

段

F \equiv 1

。

解答

本题考查指数分布与「取最小值」型随机变量函数的分布。 由

E (X) = \frac{1}{λ} = 5

得

λ = \frac{1}{5}

，

X

的分布函数

F_{X} (x) = 1 - e^{- x /5} (x \geq 0)

，

x < 0

时为

0

。

由题意，工作到故障（时间

X

）或到 2 小时，取先发生者，故

Y = min {X, 2}

。

F (y) = P (Y \leq y) = 1 - P (min {X, 2} > y) = 1 - P (X > y) P (2 > y)

。

当

y \geq 2

：

P (2 > y) = 0

，

F (y) = 1

；当

y < 2

：

P (2 > y) = 1

，

F (y) = 1 - P (X > y) = F_{X} (y)

。合并得

F (y) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 1 - e^{- y /5}, 1, y < 0, 0 \leq y < 2, y \geq 2.

考点：随机变量函数的分布、常见连续分布（均匀、指数、正态）

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