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2002 年考研数学（三）第 17 题

解答题 · 8 分

设齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ a x_{1} + b x_{2} + b x_{3} + \dots + b x_{n} = 0, b x_{1} + a x_{2} + b x_{3} + \dots + b x_{n} = 0, \dots\dots b x_{1} + b x_{2} + b x_{3} + \dots + a x_{n} = 0,

其中

a \neq = 0, b \neq = 0, n \geq 2

。试讨论

a, b

为何值时方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时求出全部解，并用基础解系表示。

提示 1

系数行列式用「各行加到第一行」提出

a + (n - 1) b

，再化三角得

[a + (n - 1) b] (a - b)^{n - 1}

。

提示 2

∣ A ∣ \neq = 0

（即

a \neq = b

且

a \neq = (1 - n) b

）时仅有零解。

提示 3

两种退化：

a = b

时

r = 1

（

n - 1

个基础解向量）；

a = (1 - n) b

时

r = n - 1

，基础解系是全

1

向量。

答案与详解

答案当 $a \neq = b$ 且 $a \neq = (1 - n) b$ 时仅有零解；当 $a = b$ 时全部解为 $X = C_{1} (- 1, 1, 0, \dots, 0)^{T} + C_{2} (- 1, 0, 1, \dots, 0)^{T} + \dots + C_{n - 1} (- 1, 0, \dots, 0, 1)^{T}$ ；当 $a = (1 - n) b$ 时全部解为 $X = C (1, 1, \dots, 1)^{T}$ （ $C, C_{i}$ 为任意常数）

思路（为什么这么做）

「主对角

a

、其余

b

」型齐次组 → 行列式

= [a + (n - 1) b] (a - b)^{n - 1}

，两个零点对应两种无穷多解。坑：

a = b

时秩

1

、有

n - 1

个基础解；

a = (1 - n) b

时秩

n - 1

、基础解系为

(1, \dots, 1)^{T}

。

解答

本题考查用系数行列式判定齐次方程组解的情况并求基础解系。 系数矩阵

A

是「主对角为

a

、其余为

b

」型。

各行加到第一行提公因子再化简：

∣ A ∣ = [a + (n - 1) b] (a - b)^{n - 1}

。仅有零解

\Leftrightarrow ∣ A ∣ \neq = 0 \Leftrightarrow a \neq = (1 - n) b

且

a \neq = b

。

当

a = b

时，

A

化为仅第一行非零

(1, 1, \dots, 1)

，

r (A) = 1

，有

n - 1

个自由未知量，全部解为

X = C_{1} (- 1, 1, 0, \dots, 0)^{T} + \dots + C_{n - 1} (- 1, 0, \dots, 0, 1)^{T}

。

当

a = (1 - n) b

时，

r (A) = n - 1

，且各行元素之和

a + (n - 1) b = 0

表明

(1, 1, \dots, 1)^{T}

是解，全部解为

X = C (1, 1, \dots, 1)^{T}

。

考点：齐次线性方程组与基础解系、行列式的计算

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