乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 2002 年
2002 年考研数学（三） 第 16 题
解答题 · 6 分
设函数 在 上连续，且 。利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点 ，使 。
提示 1
连续，有最小值 、最大值 ；用 得 。提示 2
三边积分，再除以 ，把比值夹在 内。提示 3
对连续函数 用介值定理，找到取到该比值的 。答案与详解
答案 证毕（广义积分中值定理）：存在 使
思路（为什么这么做）
证 型 → 最值定理夹逼出 ，再用介值定理取 。坑：必须 不变号（此处 ）才能保号放缩且分母非零。
解答
本题考查闭区间上连续函数的最值定理与介值定理（即广义积分中值定理的证明）。 设 在 上的最小值、最大值为 。
因 ，有 ，三边积分得 。
又 ，故 。由介值定理，存在 使 ，即 。
因 ，有 ，三边积分得 。
又 ，故 。由介值定理，存在 使 ，即 。