2002 年考研数学（三） 第 15 题

幂级数难以逐项套公式求和时 → 找出和函数满足的微分方程 + 初值，解 ODE 得闭式。坑：初值取自级数在 $x=0$ 的值与导数（$y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$）；勿漏特解 $\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^x$。

本题考查逐项求导验证微分方程，再由微分方程反求幂级数和函数。

（1）逐项求导：$y^{\prime }=\frac{x^2}{2!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots +\frac{x^{3n-1}}{(3n-1)!}+\cdots$，$y^{\prime \prime }=x+\frac{x^4}{4!}+\cdots +\frac{x^{3n-2}}{(3n-2)!}+\cdots$。三式相加，各次幂 $x^0,x^1,x^2,\cdots$ 恰好补齐：$y^{\prime \prime }+y^{\prime }+y=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{x^k}{k!}={\mathrm{e}}^x$。

（2）$y(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{(3n)!}$ 满足 $y^{\prime \prime }+y^{\prime }+y={\mathrm{e}}^x$，初值 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$。齐次特征方程 ${\lambda }^2+\lambda +1=0$，$\lambda =-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$，齐次通解 ${\mathrm{e}}^{-x/2}\left(C_1\cos \frac{\sqrt{3}}{2}x+C_2\sin \frac{\sqrt{3}}{2}x\right)$；非齐次特解 $y^{\ast }=\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^x$。

通解 $y={\mathrm{e}}^{-x/2}\left(C_1\cos \frac{\sqrt{3}}{2}x+C_2\sin \frac{\sqrt{3}}{2}x\right)+\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^x$。由 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$ 定出 $C_1=\frac{2}{3},C_2=0$，故和函数 $y(x)=\frac{2}{3}{\mathrm{e}}^{-x/2}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^x$。