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2002 年考研数学（三）第 14 题

解答题 · 7 分

设

D_{1}

是由抛物线

y = 2 x^{2}

和直线

x = a, x = 2

及

y = 0

所围成的平面区域；

D_{2}

是由抛物线

y = 2 x^{2}

和直线

y = 0, x = a

所围成的平面区域，其中

0 < a < 2

。（1）求

D_{1}

绕

x

轴旋转所成旋转体体积

V_{1}

、

D_{2}

绕

y

轴旋转所成旋转体体积

V_{2}

；（2）问

a

为何值时

V_{1} + V_{2}

取最大值，并求此最大值。

提示 1

V_{1}

用圆盘法

π \int_{a}^{2} y^{2} d x

，其中

y = 2 x^{2}

。

提示 2

V_{2}

绕

y

轴：用「半径

a

、高

2 a^{2}

的圆柱」减去抛物线内侧

π \int_{0}^{2 a^{2}} x^{2} d y

。

提示 3

令

V (a) = V_{1} + V_{2}

，求导

V^{'} = 4 π a^{3} (1 - a)

，在

(0, 2)

内

a = 1

是极大即最大。

答案与详解

答案 $V_{1} = \frac{4 π}{5} (32 - a^{5}), V_{2} = π a^{4}$ ；当 $a = 1$ 时 $V_{1} + V_{2}$ 最大，最大值为 $\frac{129 π}{5}$

思路（为什么这么做）

旋转体体积 + 参数最值 → 按轴选圆盘法（绕

x

）或环/柱壳法（绕

y

）写出

V (a)

，再求导定最值。坑：绕

y

轴时把

y = 2 x^{2}

化成

x^{2} = \frac{y}{2}

；

V^{'} = 4 π a^{3} (1 - a)

在

(0, 2)

内唯一驻点

a = 1

。

解答

本题考查旋转体体积（圆盘法 / 柱壳法）与用导数求最值。

V_{1}

（

D_{1}

绕

x

轴，圆盘法）：

V_{1} = π \int_{a}^{2} (2 x^{2})^{2} d x = 4 π \int_{a}^{2} x^{4} d x = \frac{4 π}{5} (32 - a^{5})

。

V_{2}

（

D_{2}

绕

y

轴，用大圆柱减内部）：

V_{2} = π a^{2} \cdot (2 a^{2}) - π \int_{0}^{2 a^{2}} \frac{y}{2} d y = 2 π a^{4} - π a^{4} = π a^{4}

（由

y = 2 x^{2}

得

x^{2} = \frac{y}{2}

）。

（2）

V (a) = \frac{4 π}{5} (32 - a^{5}) + π a^{4}

，

V^{'} (a) = - 4 π a^{4} + 4 π a^{3} = 4 π a^{3} (1 - a)

。在

(0, 1)

上

V^{'} > 0

，

(1, 2)

上

V^{'} < 0

，故

a = 1

时取最大值

V (1) = \frac{4 π}{5} \cdot 31 + π = \frac{129 π}{5}

。

考点：定积分几何应用（面积、旋转体体积、平均值）、函数的单调性与极值

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