2002 年考研数学（三） 第 13 题

积分含抽象 $f$ 且给了 $f(\text{某式})$ → 先反解出 $f$ 的显式表达，再积分。坑：本题分部积分时 $\sqrt{1-x}$ 与 $\arcsin \sqrt{x}$ 导数中的 $\sqrt{1-x}$ 恰好相消。

本题考查先求出未知函数 $f$，再用分部积分。 令 $t={\sin }^{2}x$，则 $\sin x=\sqrt{t},x=\arcsin \sqrt{t}$，故 $f(t)=\frac{\arcsin \sqrt{t}}{\sqrt{t}}$，即 $f(x)=\frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$。

代入：$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}\cdot \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=\int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}\mathrm{d}x$。注意 $\mathrm{d}(\sqrt{1-x})=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\mathrm{d}x$，故 $=-2\int \arcsin \sqrt{x}\mathrm{d}(\sqrt{1-x})$。

分部积分，且 $\mathrm{d}(\arcsin \sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}\mathrm{d}x$：$=-2\sqrt{1-x}\arcsin \sqrt{x}+2\int \sqrt{1-x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}\mathrm{d}x=-2\sqrt{1-x}\arcsin \sqrt{x}+2\sqrt{x}+C$。