2002 年考研数学（三）第 12 题

解答题 · 7 分

设函数

u = f (x, y, z)

有连续偏导数，且

z = z (x, y)

由方程

x e^{x} - y e^{y} = z e^{z}

所确定，求

d u

。

提示 1

u = f (x, y, z)

且

z = z (x, y)

：先写

d u = f_{1}^{'} d x + f_{2}^{'} d y + f_{3}^{'} d z

。

提示 2

对约束方程两边求微分求

d z

，注意

d (x e^{x}) = (x + 1) e^{x} d x

。

提示 3

把

d z

代回，合并

d x, d y

的系数。

答案与详解

答案 $d u = (f_{1}^{'} + \frac{x + 1}{z + 1} e^{x - z} f_{3}^{'}) d x + (f_{2}^{'} - \frac{y + 1}{z + 1} e^{y - z} f_{3}^{'}) d y$

思路（为什么这么做）

求含隐函数的全微分 → 用一阶微分形式不变性：先写

d u = f_{1}^{'} d x + f_{2}^{'} d y + f_{3}^{'} d z

，再对约束求微分解出

d z

代回。坑：

f_{3}^{'}

会同时进入

d x, d y

的系数。

解答

本题考查全微分与隐函数求导。

u = f (x, y, z)

中

z

又是

x, y

的隐函数，故

d u = f_{1}^{'} d x + f_{2}^{'} d y + f_{3}^{'} d z

，需先求

d z

。

对约束

x e^{x} - y e^{y} = z e^{z}

两边求微分（用

d (x e^{x}) = (x + 1) e^{x} d x

等）：

(x + 1) e^{x} d x - (y + 1) e^{y} d y = (z + 1) e^{z} d z

。

解得

d z = \frac{x + 1}{z + 1} e^{x - z} d x - \frac{y + 1}{z + 1} e^{y - z} d y

。代回并合并

d x, d y

系数：

d u = (f_{1}^{'} + \frac{x + 1}{z + 1} e^{x - z} f_{3}^{'}) d x + (f_{2}^{'} - \frac{y + 1}{z + 1} e^{y - z} f_{3}^{'}) d y

。

2002 年考研数学（三） 第 12 题