2002 年考研数学（三） 第 11 题

分母含 $1-\cos x$、分子是变限积分之比 → 先等价无穷小降阶，再对变限积分反复洛必达。坑：${\int }_0^{x^2}$ 求导要乘上限导数 $2x$（复合变限积分）。

本题考查变限积分求导与洛必达法则，先用等价无穷小把分母降阶。 因 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，故 $x(1-\cos x)\sim \frac{x^3}{2}$，原式 $=2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x[{\int }_0^{u^2}\arctan (1+t)\mathrm{d}t]\mathrm{d}u}{x^3}$。

$\frac{0}{0}$ 型，洛必达：分子对 $x$ 求导 $={\int }_0^{x^2}\arctan (1+t)\mathrm{d}t$（变上限积分求导），分母导数 $3x^2$，得 $2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x^2}\arctan (1+t)\mathrm{d}t}{3x^2}$。

再洛必达：分子对 $x$ 求导 $=\arctan (1+x^2)\cdot 2x$（上限 $x^2$ 带出因子 $2x$），分母 $6x$，得 $2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x\arctan (1+x^2)}{6x}=\frac{2}{3}\underset{x\to 0}{\lim }\arctan (1+x^2)=\frac{2}{3}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}$。