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2002 年考研数学（三）第 10 题

选择题 · 3 分

设随机变量

X

和

Y

都服从标准正态分布，则（　）。

A $X + Y$ 服从正态分布
B $X^{2} + Y^{2}$ 服从 $χ^{2}$ 分布
C $X^{2}$ 和 $Y^{2}$ 都服从 $χ^{2}$ 分布
D $\frac{X ^{2}}{Y ^{2}}$ 服从 $F$ 分布

提示 1

单个

N (0, 1)

的平方一定服从

χ^{2} (1)

，与是否独立无关。

提示 2

A、B、D 的结论都暗含

X, Y

独立。

提示 3

题目没说独立，故只有 C 恒成立。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

正态变量组合分布判断 → 先看结论是否需要「独立」前提。坑：

χ^{2} / F /

正态和的性质都要独立；本题未给独立，只有对单变量成立的

X^{2} \sim χ^{2} (1)

稳妥。

解答

本题考查 $χ^{2}, F$ 分布的定义以及「独立性」这一隐含前提。 关键：

X \sim N (0, 1) \Rightarrow X^{2} \sim χ^{2} (1)

对单个变量总成立，无需独立。

C 正确：

X^{2} \sim χ^{2} (1)

、

Y^{2} \sim χ^{2} (1)

各自成立（

χ^{2} (1)

就是一个标准正态变量的平方）。

A、B、D 都需要

X, Y

相互独立才成立（独立正态之和为正态、独立

χ^{2}

之和为

χ^{2}

、独立

χ^{2}

之比为

F

）；题中未给独立，故不一定成立。选 C。

考点：三大抽样分布（χ²、t、F）、随机变量的独立性

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