2000 年考研数学（三） 第 9 题

证 $\mathbf{AX}=0$ 与 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AX}=0$ 同解 → 一方向左乘 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$，另一方向左乘 ${\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}$ 凑 $|\mathbf{AX}{|}^2=0$。坑：必须是实矩阵，模长平方为 $0$ 才推出向量为零。

本题考查 $\mathbf{AX}=0$ 与 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AX}=0$ 同解，核心技巧是「左乘 ${\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}$ 化成模长平方」。

$(\mathrm{I})\Rightarrow (\mathrm{II})$：若 $\mathbf{AX}=0$，两边左乘 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 得 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AX}=0$，故 $(\mathrm{I})$ 的解都是 $(\mathrm{II})$ 的解。

$(\mathrm{II})\Rightarrow (\mathrm{I})$：若 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{AX}}_0=0$，左乘 ${\mathbf{X}}_0^{\mathrm{T}}$ 得 ${\mathbf{X}}_0^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{AX}}_0=({\mathbf{AX}}_0{)}^{\mathrm{T}}({\mathbf{AX}}_0)=|{\mathbf{AX}}_0{|}^2=0$，故 ${\mathbf{AX}}_0=0$。两方程组同解，选 A。