2000 年考研数学（三） 第 8 题

已知非齐次方程组几个解求通解 → 通解 = 一个特解 + $(n-r)$ 个「解之差」构成的基础解系。坑：本题只给 ${\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3$，要凑成 $2{\mathbf{\alpha }}_1-({\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3)$ 才是齐次解。

本题考查非齐次通解结构：一个特解 + 导出组基础解系。 未知数 $n=4$，$r(\mathbf{A})=3$，故 $\mathbf{AX}=0$ 的基础解系含 $n-r=1$ 个解向量，只需找一个非零的齐次解。

两个非齐次解之差是齐次解：$\mathbf{\xi }=({\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2)+({\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_3)=2{\mathbf{\alpha }}_1-({\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3)=2(1,2,3,4{)}^{\mathrm{T}}-(0,1,2,3{)}^{\mathrm{T}}=(2,3,4,5{)}^{\mathrm{T}}$，且 $\mathbf{\xi }\ne 0$，即为基础解系。

取特解为 ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,2,3,4{)}^{\mathrm{T}}$，故通解 $\mathbf{X}=(1,2,3,4{)}^{\mathrm{T}}+C(2,3,4,5{)}^{\mathrm{T}}$，选 C。